NUMERI FRACTI ПО-РУССКИ

«Несть сё дивно, что в целых, а то похвально, что в долях...»

Из славянской рукописи XVI века

В XV—XVII веков на Руси существовало описание земельных владений на селе и в городах, единицей которого служила СОХА. Оно проводилось с целью последующего поземельного обложения, то есть сбора податей и отбывания повинностей.
Название данному мероприятию СОШНОЕ ПИСЬМО.
В Русском государстве существовало три основные категории земель:
- частновладельческие служилые земли (принадлежали служилым людям по отечеству): вотчины и поместья;
- частновладельческие земли принадлежали духовным лицам и корпорациям: земли церковные, монастырские, собственность отдельных епископских и митрополичьих кафедр или патриарха;
- дворцовые и черные земли, которые обрабатывали сошные (черносошные) крестьяне (люди, которые были записаны по СОХАМ).
Каждая из перечисленных категорий земель имела свой размер СОХИ.
Это неравенство СОХИ определялось классовым неравенством, а именно:
-борьба служилых людей (дворянства), с ростом церковного и монастырского землевладения;
-служилые люди по отечеству (правящий класс), облагались налогами наиболее легко;
- среднее место занимало монастырское землевладение;
- наиболее тяжелым являлось обложение черных земель, т. е. крестьян.

Люди, которые проводили замеры земельных владений в сельской местности, дворов по городам, имели с собой инструкции — «книги сошного письма». Они имели описание русских поземельных мер, давали указания по их применению при замере пашни и исчислению окладных единиц (сох и вытей) с учётом качества земли. Земля была добрая, средняя или худая, категории землевладения: земля служилая, церковная, чёрная.

На служилых землях применялось «одабривание» (приравнивание средней и худой земли к доброй путем увеличения количества средней и худой земли на соху):
средняя земля + СОХА= худая земля + СОХА= ДОБРАЯ ЗЕМЛЯ.
Средней земли в соху полагалось 1000 четвертей. Но писец имел право при производстве обложения (при определении количества сох) накинуть
на каждые 100 четвертей середней земли еще по 25 четвертей такой же земли, или на всю соху 250 четвертей.
СОХА, увеличенная до 1250 четвертей в поле, считалась за 800 четвертей доброй земли.
На худых землях такое же «одабривание» производилось (прибавка была больше):
на каждые 100 четвертей прибавлялось по 50 четвертей, а на всю соху худой земли, состоявшую из 1200 четвертей, наддача составляла 600 четвертей.
СОХА увеличенная до 1800 четвертей в поле, считалась за 800 четвертей доброй земли.
Такое «одабривание» производилось только на служилых землях, т. е. известное преимущество оказывалось правящему классу. Ни монастырские, ни черные земли «не добрились».
СОШНОЕ ПИСЬМО выросло на земледельческой почве. Но из-за стремления московской финансовой политики ввести однообразие в податную систему привело к податной реформе середины XVI века. Единица измерения, соха, была приноровлена и к потребностям городского обложения. Это было удобным, потому что соха с самого начала была не земельной мерой, а финансовой единицей. Она выражала определённые размеры капиталов, с которой московское правительство брало часть процентов в виде подати.
При измерении земель и угодий, принадлежащих к владению, учитывались:

пашня паханная, перелог и лесом поросшая «четверть»
количество сена в «копнах»;
количество леса в десятинах и верстах.

Всему этому подводился итог по каждому владению, и «четвертная» (т.е. измеренная четвертями) пашня переводилась по установленной норме в «СОШНОЕ ПИСЬМО».

В 1678—1679 годах соху заменило дворовое число.

СОХА не всегда имела размер в 800 четвертей доброй земли в поле.
Этот размер сложился на рубеже XVI и XVII вв.
В более ранний период У(XV—XVI вв.) можно встретить иной размер СОХИ.
В Новгороде употреблялись фискальные единицы — обжа и сошка(малая соха).

1 Новгородская сошка (малая соха) = 3 обжи.

1 обжа (в среднем) = 10 четвертей в поле = 5 десятин

1 малая сошка = 15 десятин = 30 четвертей в поле.

Когда в Новгородской области стали вводить московские порядки, тогда

1 московская соха = 10 новгородских сошек = 300 четвертей в поле.

Даже в начале XVII в. московская соха, как мера, не была повсеместна.
В 1608 году в Яренском уезде(Василий Ларионов и подьячий Андрей Горохов, писцы и дозорщики):

1 СОХА = 125 четвертей в поле (середняя земля) = 150 четвертей в поле (худая земля)

По «Книге сошного письма 7137 года» на русском Севере (бывшие новгородские земли) существует ВЫТЬ (более мелкая единица).
ВЫТЬ применялась чаще всего на черных землях.
1 ВЫТЬ = 12 четвертей доброй земли в поле = 14 четвертей середней земли =16 четвертей худой земли.
ВЫТЬ также делилась на части по системе двух:
1 ВЫТЬ = 1 полВЫТИ = 1 четверть ВЫТИ = …
ВЫТЬ делилась на части по системе трех:
1 ВЫТЬ = 1 треть ВЫТИ = 1 полтрети ВЫТИ = …
Иногда там встречалась фискальная единица — ПЛУГ, которая имела такое же значение как и ВЫТЬ.
Плуг также делился па части по системе двух и трех.
В течение XVII в. Русское правительство пыталось привести все многообразие фискальных единиц к одной определенной единице обложения.

1Большая московская соха = 800 четвертей доброй земли в поле - общая единица.

В течение XVII в. делались попытки распространить эту большую соху на все категории земель.
Городское население, посадские люди, тоже подлежало СОШНОМУ ПИСЬМУ и обложению на его основе.
В документах XVII в. встречается упоминание о так называемой подворной сохе, которая применялась главным образом при обложении посадских людей. Посадское население занималось и земледелием, но основными его занятиями официально признавались ремесла и торговля.

Если население одновременно занималось земледелием и торговлей, писцы комбинировали поземельную СОХУ с подворной СОХОЙ.
Кроме СОХИ и ВЫТИ в XVII в. существовали окладные единицы в ВОТЧИНАХ, по которым крестьяне облагались владельческими повинностями.
Терминология владельческих окладных единиц многообразна:
выть, третник (треть какой-нибудь меры),четь, осъмак, шестуха, кость, доля, полоса, участок, обжа, вытка, сиг, десятина, сажень, алтын, грош, копейка, деньга, полушка, мортка, двор, дым, пуд, корова и т. д.

Некоторыми из этих единиц пользовались при сборе определенных повинностей. Например, с коровы собирали масло. Часть же этих повинностей являлась долей других единиц, более крупных. Долей выти могли быть все указанные единицы, кроме дыма, двора, коровы, пуда. Алтын, копейка, деньга, полушка являлись долями крупной окладной единицы — рубля. При раскладке повинностей пашенных крестьян они могли быть долями выти

Книга по истории математики в А. П.Юшкевича начинается с описания архаической “буквенной” нумерации, которая находилась на Руси в употреблении вплоть до XVIII в. В рамках петровских преобразований она была заменена системой современных индо-арабских чисел.

Как известно, последняя нумерация стала входить в русскую жизнь еще в XVI–XVII вв., главным образом через рукописные варианты
“Цифирной счётной мудрости”.

ПРИМЕРЫ ИМЕНОВАНИЙ СОВРЕМЕННЫХ ДРОБЕЙ

(в соответствии с древне русскими правилами)

“Дощаной(ый) счёт” предшественником вычислительного прибора, известного нам как русские/конторские счеты.
Изначально “дощаный счёт” был громоздким прибором, который содержал четыре вычислительных поля. Они представляли собой деревянные рамы с закрепленными прутьями/шнурами с нанизанными счетными костяшками: для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер ёмкостей и весов. В отличие от современных счётов, “дощаный счёт” имел в нижней части прутья/шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями.

Обе системы инструментального счета в течение некоторого времени сосуществовали и даже были взаимосвязаны. Многие функции дощаного счета были прямо заимствованы из счета костьми. Но дощаный счет, явившийся прообразом русских счетов, сохранившихся как вычислительный инструмент до сих пор, можно считать оригинальным отечественным изобретением, которое имеет многовековое употребление. Эта система оставила значительный след в нашем языке, породив такие выражения, как “сбрасывать со счетов”, “сводить счеты”, “прикидывать”, “скостить” и др.

Счет костьми.

В рукописях по арифметике изложению действий с костьми предшествует описание изготовления счетной таблицы.

“Возьми перед себя стол или доску, на чем тебе пригодитца великий счет считати. И прочерти черту мелом к себе концом, да поперек 6 черт или 7, или боле, каков счет хошь считать[т.е. в зависимости от величины подлежащих счислению чисел] и снизу от себя отчерти 3 черты простых, а на четвертой черте на споях накресть перечерти для памяти [т.е. пометь косым крестом пересечения вертикальных линий с 4-й, 7-й и т.д. горизонтальными] и буди ти ведомо первый крест туто кладутца 1000, а на другом кресту кладутца 1000000, а впредь так же. А кости клади по чертам или пиняги [т.е. кости или жетоны будешь раскладывать на горизонтальных линиях]. На нижней черте кладетца всякая кость за 1 до 4 костей, а придется положити 5, и ты положи 1 кость выше первые черты под другую меж чертами. Ту 1 кость держит 5 [т.е. на нижней горизонтальной линии каждая кость соответствует единице. На ней откладываются числа от 1 до 4. Пятерки откладываются тоже одной костью, но над первой горизонтальной линией в шпации], а на другой черте всякая кость держит по 10, а пригодитца положити 50 и ты положи 1 кость выше другие черты под третею меж чертами. А впредь також клади. С черты на черту вверх ступай вдесятеро, а промеж чертами впятеро наполовину”.

На доске или столе проводили мелом несколько горизонтальных линий для единиц, десятков, сотен и т.д., следуя снизу вверх. На каждую линию клали до 4 костей.
Если кость помещалась между линиями, то она означала 5 единиц разряда, который откладывается на более близкой к вычислителю линии.
Вертикальные линии разделяли доску на несколько столбцов, в которые клали кости, соответствующие компонентам действий.
Далее в особых статьях излагаются 4 действия в такой последовательности: сложение, умножение, вычитание, деление. Правила выполнения каждого из них излагались очень подробно, сопровождались примерами,специальными пояснительными чертежами, где видно, что для разных действий требовались и разные таблицы.

"Дщица счётная”- это отрисованная на вспомогательной дощечке схема разметки стола для счёта костьми.
В XVI веке такие вспомогательные дощечки были необходимы вычислителю, чтобы не дать ему сбиться при переносе результата вычислений на бумагу в славянской нумерации.

“В распоряжении древнерусской “бухгалтерии” были специальные переводные таблицы, позволявшие приводить дроби обоего рода (четвертные и третные) к “общему знаменателю”.
Примечательно, что им служил д е н е ж н ы й счёт, оказывается любую дробь обоих видов можно выразить в виде определенной денежной суммы, и затем трети и четверти складываются или вычитаются проще простого.

Специальные переводные таблицами могли сводиться к своеобразным формулам. Вот пример одной из таких формул, которая в древнерусских сошных дробях звучит так:
“Четь да полчети да пол-полтрети да пол-полполтрети, итого треть и полтрети сохи”.
В современном обозначении дробей она может быть выражена следующим равенством: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = = 1/3+1/6.
Осуществляли перевод одних сошных дробей в другие, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, которые состояли из участков владений различной величины и ценности (пашни, леса, луга и пр.). При этом решался и вопрос правильности расчётов, для чего существовал механизм быстрой их проверки.

Первый русский математик, известный нам по имени, монах Новгородского монастыря Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.), т.е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и т.д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами». Доходит он до седьмых дробных часов, которых в дне или ночи 937 500, причем говорит, что от седьмых дробных уже ничего не получается. [5]
В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части.
При записи числа использовалась горизонтальная черта.
В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:
1/2 - половина, полтина
1/3 – треть
1/4 – четь
1/6 – полтреть
1/8 - полчеть
1/12 –полполтреть
1/16 - полполчеть
1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)
1/5 – пятина
1/7 - седьмина
1/10 – десятина.
Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая –
получетверть, которая называлась осьмина.
Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Позже осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.

«На математическое развитие древней Руси огромное влияние оказало введение славянского алфавита, основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации». Буквы служили одновременно и числами, при этом сверху буквы ставили знак титло ̃. Порядок букв и цифр не совпадали. Например, вторая буква алфавита «Б» - буки – не имела цифрового обозначения.

Для обозначения тысяч перед каждой буквой ставили знак косая линия, которая была перечёркнута два раза, для десятков тысяч (тьмы) буквы ставили в кружок, для сотен тысяч (легионов, неведий) – в кружке из точек, для миллионов (леодров) – в кружке из черточек.

ПЕРЕХОД

от системы древне русских дробей к цифирным

1703 год

Выходит в свет первый русский печатный учебник по математике «Арифметика».
Автор Магницкий Леонтий Филлипович.

Во 2-ой части этой книги “О числах ломаных или с долями” подробно излагается учение о дробях.

"Число ломаное ничтоже ино есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется аще 1/2 рубля, или четь 1/4 или пятая часть 1/5, или две пятые части 2/5 и всякие вещи яковая либо часть, объявлена числом: т.е. ломаное число..."

Первый раз упоминает о дробях Магницкий совершенно неожиданно, когда у него идет деление с остатком. На странице 17 решается пример 130 : 3, и в конце решения говорится так:
«И умствуй изъ 10 3-хъ: и придеть 3, еже напиши за чертою. А осталось изъ 10, 1, иже есть общій всѣмъ тремъ и пишется послѣди сице: ⅓.»

Затем идет «нумераціо», или «счисление в долях», т.е. дается ряд дробных примеров и указывается, как их выговаривать.
Здесь объясняется, что означает старинное русское выражение «полтретья», «полпята» и т. п.
Полпята вовсе не значит половина пяти, а это будет 4½. Точно так же полтретья значит половина третьего, т.е. 2½. У нас осталось и сейчас выражение "полтора". Оно произошло из полвтора, т.е. половина второго, следовательно., один с половиной, 1½.

.Рукопись «Роспись сошному письму, как которая кость с которой костью кладется» содержит указания по измерению пашни. Она представляла собой таблицу сумм, получаемых от сложения различных частей сохи.
Это 21 правило для использования землемерами в своей работе.

Необходимо перевести 21 правило на язык математики современного мира ,определить существование ошибок в вычислениях.

Древними авторами рукописи «Роспись сошному письму, как которая кость с которой костью кладется» были допущены ошибки правилах № 4, №7, № 15.
Исправим эти ошибки на языке оригинала.